Sagitas y Apotemas

Este título tan raro probablemente tiene su origen en que aún me da pereza ‘zambullirme’ en el año 2024 y que, en momentos de ocio, puestos a ‘lucubrar’ (o, como perífrasis, 'a pensar en el sexo de los ángeles', que es el clásico eufemismo para no decir aquello de ‘hacerse pajas mentales’), pasó por mi mente, puesta ‘en modo tecnocrático’, el saber qué relación hay, en un círculo, entre la superficie, o área del mismo, y su perímetro… y descubrir que tiene un valor constante de ‘erre (radio) partido por dos’.

Se demuestra, naturalmente, con la aplicación de las fórmulas de la superficie de un círculo todos sabemos que es ‘pi erre cuadrado’, y la de su perímetro, ‘dos pi erre’… por lo que S:P será siempre igual a la mitad del radio de esa circunferencia. O sea que, poniéndolo en plan ‘teorema’…

«el área de un círculo es, siempre, el producto de su perímetro por la mitad de su radio».

Y, dicho esto, se me ocurrió pensar en los polígonos (regulares) ‘inscritos’ en un círculo. Por ejemplo, el hexágono regular (por cierto que a mi me sale siempre escribir ‘exágono’… pero no lo acepta la RAE), en el que todos sabemos que concurre la circunstancia de que cada uno de sus lados, iguales, miden lo mismo que el radio de la circunferencia que lo inscribe.

Y, haciendo cálculos, descubro que la relación entre el área y el perímetro de un hexágono regular es, siempre, de ‘erre (radio) partido por dos, por la raiz cuadrada de tres’. O sea, que, como teorema similar al de antes,

«el área de un hexágono regular es, siempre, el producto de su perímetro por la mitad del valor de su lado, y por la raíz (cuadrada) de tres».

Esto de la raíz de 3 me llevó a investigar sobre el cuadrado regular, el octógono, etc. y es cuando descubro dos viejos conceptos que ‘me sonaban’ de mis tiempos de estudiante de la ‘geometría plana, o euclidiana’ (o sea… ‘de los de antes’), pero que seguro que, ahora, nadie conoce. Me refiero al ( o ‘a la’) apotema (y, como complemento, la sagita), con los que he dado título a esta entrada.

Centremos ideas: en un polígono regular (de cualquier número de lados)

se llama ‘apotema’ al segmento que va desde el centro de la circunferencia que le inscribe (o del propio polígono) al punto medio de cada uno de sus lados (y se corresponde con la menor distancia posible entre el centro y un punto del perímetro de un polígono)

Y se llama ‘sagita’ (así lo define el Larousse) a ‘la parte del radio (de la circunferencia donde se inscriba un polígono) comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y el de su cuerda’. Pero, por aclararlo mejor, digamos que es, simplemente, 'el segmento que complementa al apotema para convertirse en un radio de la circunferencia inscrita'.

Y dicho esto, vamos a ver cómo generalizar esta relación entre la superficie y el perímetro de cualquier polígono regular con el radio de la circunferencia que le inscribe (o con el lado).

De momento, está claro que, genéricamente, el perímetro de un polígono regular ‘de N lados’ es el producto de N por la longitud de uno de sus lados (iguales).

Y también es claro (así aparece en las definiciones) que la superficie de un polígono regular es igual al producto del perímetro, por el apotema, y dividido entre dos. (Esto sale, fácilmente, de sumar las áreas de los triángulos que se forman uniendo los vértices del polígono con su centro, y la conocida fórmula ‘la superficie de un triángulo es el producto de su base, por su altura, dividido entre dos’ porque aquí la base es el lado y la altura, el apotema).

Así que, como axioma general, podemos definir que

«En cualquier polígono regular, de cualquier número de lados, la relación entre su Area, o Superficie, y su Perímetro, S:P, siempre es igual a la mitad de su apotema».

Que, como se ve, cumple la idea inicial porque, al no dejar de ser una circunferencia un ‘polígono regular de infinito número de lados’, donde el apotema es igual al radio… S:P=R/2 y S=la mitad del producto del perímetro por el radio… como se indicaba al principio.

O, como se decía antes… q.e.d (‘quod erat demonstrandum’) que resulta mucho más fino.

Y me queda, como 'artística media verónica', relacionar el apotema, Ap, con el lado (L) del polígono regular, y con el radio, r , del círculo que lo inscriba. Pero para ello me temo que tendremos que tirar de la trigonometria y de las tablas trigonométricas de seno, coseno, tangente… de los ángulos.

El caso es que, con arreglo a estas ideas, y a este esquema…

es fácil acceder a saber que, para cualquier polígono regular de N lados… «El ángulo que forman el radio desde un vértice, y su apotema, como la circunferencia tiene 360º (sexagesimales), es… A=180/N»

Por lo que, en función del valor que tome el lado, L…

• El valor del apotema de un poligono regular de N lados de longitud L es el resultante de dividir la mitad de L entre la tangente del ángulo A.
• El valor del radio del círculo que inscribe un polígono regular de N lados es el resultante de dividir la mitad de L entre el seno de A.

Mientras que, si partimos del radio, r , del círculo que inscriba a un polígono regular…

• El valor de apotema es el resultante de multiplicar el valor del radio por el coseno del ángulo A. O sea... Ap = r.cos(A)
• El valor del lado de un polígono regular de N lados inscrito en un círculo de radio r es igual al doble de r por el seno de A. (en otros términos, el valor del diámetro por sen(A). Esto es... L=2r.sen(A) = D.sen(A)

(Y la sagita, si la necesitas, se obtendría restando al valor del radio, el valor del apotema)

Hoy en día, con internet, se puede disponer de múltiples ‘calculadoras de senos, de cosenos y de tangentes’ que facilitan todos estos cálculos.

Y, como conclusión, con estos cálculos, y un simple compás (mejor aún, con una ‘bigotera’), para transportar longitudes, podremos trazar cualquier tipo de polígono regular ‘de N lados’, en cuanto se defina bien la longitud que tenga que tener cada lado, bien el radio del círculo que lo inscriba dicho polígono.
Porque..…
a) Dado el número de lados,N, y el radio, L=2r.sen(A) (y, empezando por cualquier punto del círculo, nos bastaría, con el compás, ir transportando N veces esa distancia (longitud del lado)

b) Dado el número de lados, N, y la longitud de cada lado, L, el circulo que inscribiría ese polígono tendrá que tener un radio de r=L/2sen(A) por lo que podremos trazarlo, con el compás, para luego transportar N lados, como acabo de decir.

Y, vaya, pensando que Pitágoras enunció su famoso teorema como una ley ‘de superficies’ porque decía que ‘el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos’…

...también llegaríamos al postulado clásico de que ‘el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los dos catetos’ y apetece lucubrar relacionando estos ‘polígonos regulares’ con sus áreas, sus perímetros y sus apotemas... pero no voy a alargarme, así que acabo mi loca aventura de hoy.

En mi descargo, diré que tengo un cuñado, ingeniero de caminos, y también jubilado, que se entretiene calculando integrales y derivadas… lo cual me parece bastante más grave.