Los logaritmos

Hoy soltaré un rollo pseudo-científico. O sea, de estudiante ‘de ciencias’. O quizás es que me haya sobrevenido una añoranza a mis años de carrera. El caso es que, apoyado en una buena documentación que encontré buceando por internet, voy a empezar el tema enunciando este sencillo planteamiento: «Supongamos que tenemos un número (positivo), al que llamaremos ‘N’. Y hagámonos esta pregunta: ¿Cuantas veces se tendría que multiplicar por si mismo otro número cualquiera, llamémosle ‘B’, para obtener el valor de N?»
O sea, en términos matemáticos… «¿Cual sería el exponente, X, al que hay que elevar B para obtener, como resultado, el número N?»

Pero pongamos un ejemplo muy fácil: Si definimos N=8 y B=2, calcularemos, y diremos, que el valor del exponente es… X=3 porque 2 ‘elevado a 3’ (o sea, 2x2x2)… es, precisamente, 8. Pues bien,  este ‘X=3’ del ejemplo es lo que se llamaría, en el caso... ‘el logaritmo, en base 2, de 8’.
En una palabra, y por definición, dado un número cualquiera (N), que se llamará ‘argumento’, «el logaritmo, ‘en base B’, de dicho número N no es más que el número (X) que defina al exponente al que hay que elevar esa base B para obtener el argumento N».

O sea que B 'elevado a X' = N, y diremos que «X es el logaritmo en base B de N». Que se escribe 'logB de N=X'. Y esta es la definición general, canónica, de lo que es ‘un logaritmo’.

Empecemos diciendo que, en la práctica científica, el logaritmo más usado (el ‘vulgar’) es el ‘logaritmo decimal’, o ‘logaritmo de base 10’ que se representa como “log N=X”, porque se conviene que no sea necesario que se especifique ‘la base’ cuando es ‘base 10’. Así que si escribimos, simplemente, log N = X se entiende que X es ‘el logaritmo en base 10, de N’.

Y, a partir de aquí, se han calculado, y publicado, Tablas Logarítmicas que nos indican, para cualquier número N, cual es su logaritmo decimal, es decir, por qué número hay que elevar ‘10’ para obtener N. Y que permiten, igualmente, la consulta inversa, es decir, determinar cual es su ‘antilogaritmo’, o sea, el número N correspondiente a un determinado logaritmo log = X.

Centrando ideas, naturalmente, el logaritmo decimal de 100 es… 2 (porque, como es claro, 10 'elevado a 2' = 100. Pero el de 50 es… 1.69897000433602 (lo juro por mis muertos, lo dice Google, y esas Tablas...) porque 10 'elevado a 1.69897000433602' = 50.

(Hay, también, otro logaritmo muy usado, que es el ‘logaritmo neperiano’, y que se representa por ln N = X. Se le llama ‘logaritmo natural’. Aquí se emplea, como ‘base’, el número ‘e’, o ‘número de Euler’ que es un número ‘irracional’ (no sujeto a un cálculo, o razón, entre dos números enteros) y que, aproximadamente, es e = 2,71828. En realidad tiene infinitos decimales, como el número pi (π = 3,14159…) o el número phi (‘φ’, en honor al escultor de la Grecia clásica Fideas) que es el famosísimo ‘número aureo’ (o de la 'proporción aurea'), y que vale, aproximadamente φ = 1,618.

Los números pi, e, y phi forman parte de los llamados ‘números transcendentes’, y están muy presentes en diversas ramas de las Matemáticas, la Geometría, de las funciones exponenciales, y de las financieras de interés compuesto… y bueno, en el caso del número aureo, en la naturaleza misma (serie de Fibonacci).. En fin, que para mayores explicaciones, todo es cuestión de buscarlas en la Wikipedia...)

Pero me estoy saliendo del tema. Queda la pregunta del millón: Bueno… ¿Y para que sirven los logaritmos, sea el decimal (log), o vulgar, o el neperiano (ln), o natural… u otros?

Pues, de forma muy simple, para simplificar grandes (o complejas) operaciones de cálculo. Porque, por las propiedades de las ‘potencias’ (y un logaritmo ya hemos visto que no es más que el exponente de una potencia) las multiplicaciones son sumas, y las divisiones, restas. Por ejemplo, si nos piden calcular cual es el resultado de  "6 elevado a 5 dividido entre 6 elevado a 3"... nos podemos poner nerviosos, pero es muy sencillo porque será 6 elevado a (5-3). O sea, sencillamente, 6 elevado a 2 (6 al cuadrado)= 36.

Porque como digo, operando con logaritmos, las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y, por seguir, las potencias en multiplicaciones y las raices en divisiones.

Los logaritmos tuvieron una gran importancia hasta la irrupción de las calculadoras electrónicas y los ordenadores. Pero esto fue hace unos 50 años, de hecho en mi carrera de ingeniero, usábamos las tablas de logaritmos, y se operaba con ellos (y con reglas de calculo, que llevábamos, muy ufanos, en el bolsillo superior de la chaqueta, como los estudiantes de medicina se colgaban el ‘fonendo’ (el fonendoscopio, vamos) del cuello.

Así que ‘los carrozas’ recordamos los logaritmos (y las integrales, y las derivadas…) y las reglas y propiedades de los logaritmos, como algo muy consuetudinario con los estudios superiores de cualquier carrera técnica.

Y es que, en el fondo de la cuestión, había una serie de reglas operativas (una especie de ‘idioma para el cálculo logarítmico’) como, por ejemplo, y sin ánimo de ser exahustivo, estas Propiedades...

(etc...) y que, con principios básicos como, sin ánimo, también, de ser exahustivo...
 a) Principio de equivalencia:
‘Si los logaritmos de dos números, en la misma base, son iguales, los números también lo son'. Y viceversa.

b) El cambio de base
El logaritmo, en una base ‘b’ cualquiera, de un número N es, usando los logaritmos de base 10…
log en base b de N = log (decimal) de N dividido entre el log (decimal) de b

c) Unos datos clave: en base 10, log 10=1, por lo que logaritmo de 100 =2 (sería log (10x10) o sea log10 + log 10), así como log 1000=3 y log 1500=3+log1,5. Por tanto, y con el 'libro gordo de Petete' que todo el mundo tenía (las Tablas de Logaritmos vulgares, o sea en base 10) te movías en los cálculos, jugando con los logaritmos de los números y sus antilogaritmos, etc.

Y así, en resumidas cuentas, se podían facilitar los cálculos complejos, y establecerse operativas (a partir de esas propiedades, y reglas) como se puede ver en estos ejemplos…

En fin que, por rematar la cosa, con los logaritmos se podía llegar a llenar la pizarra de densos planteamientos matemáticos, en plan ‘sabio einsteniano’, con fórmulas del tipo ‘log del coseno del ángulo alfa…’, etc, etc

Pero bueno, ya termino, que esto solo era una disertación para conocer lo que es (o fue) el mundo de los logaritmos. En confianza… siempre he sido partidario de la ‘regla de los 5 minutos’ que explicaba aquí mismo (‘’cinco brillantes minutos’) hace tiempo, y que viene a decir que te basta poder hablar 5 minutos, con cierta brillantez, o seguridad, sobre un tema, para que tus interlocutores crean que eres un verdadero experto. (Y, a partir de ahí… ya los tienes ‘en tu mano’, era una de las reglas de oro de la Consultoría de dirección).

Pues hala, acabo, que ya han pasado 5 minutos hablando de ‘los logaritmos’ y parece que entiendo un montón del tema.

(Q.D.E, esto es, ‘Quod erat demonstrandum’ o sea ‘como se quería demostrar’, siglas o frase que era muy habitual ver, antiguamente, al final de una formulación demostrativa. Que, en este caso se refiere, evidentemente, a la 'regla de los 5 minutos', vamos...)